Beste Ionica,
Toen ik mij nog dagelijks in de spits met de auto naar mijn werk verplaatste, vroeg ik mij vaak af of er tijdstippen bestaan waarop je niet kunt aankomen, omdat je of véél eerder, of véél later aankomt. Als de spits begint, dan neemt de reistijd toe naarmate je later vertrekt. Bij het eerste verkeerslicht op de route kun je óf doorrijden óf je wordt opgehouden. Als je wordt opgehouden, neemt de reistijd disproportioneel toe. Bij een volgende verkeerslicht treedt deze situatie ook weer op – hetgeen het effect versterkt. Zo ontstaat er een gat in de mogelijke aankomsttijd. Klopt mijn beredenering?
Peter van der Kemp
Beste Peter van der Kemp,
Het is mij ook geregeld opgevallen dat vijf minuten later vertrekken ertoe kan leiden dat je een half uur later aankomt. Wiskundig gezien kun je de aankomsttijd zien als een functie f van de vertrektijd. Als een vertrek om 6 uur ’s morgens een aankomst om 8 uur oplevert, dan kun je dit noteren als f(6)=8. Op eenzelfde manier kun je met f(7)=10 noteren dat een vertrek om 7 uur aankomst om 10 uur geeft. De tussenwaardestelling zegt nu dat een continue functie f op een gesloten interval alle mogelijke tussenwaarden aanneemt (vandaar ook de naam). Als we als interval de vertrektijden tussen 6 en 7 uur nemen, dan zou dit betekenen dat alle mogelijke aankomsttijden tussen 8 en 10 uur moeten voorkomen.
Maar deze tussenwaardestelling geldt alleen voor een functie die continu is, dat is een functie die niet ineens een sprong maakt. En zoals u in uw brief al aangeeft: dat is niet het geval bij de aankomsttijd. Als u net voor het verkeerslicht op rood springt aankomt, rijdt u moeiteloos door. Komt u een paar seconden later aan, dan moet u misschien wel twee minuten wachten. Een klein verschil in vertrektijd geeft een groot verschil in aankomsttijd, u noemde het disproportioneel. En dus gaat de tussenwaardestelling in dit geval niet op en hoeven niet alle mogelijke aankomsttijden te bestaan.
Een klein voorbeeld laat zien hoe er inderdaad een gat in aankomsttijden kan ontstaan. Stel dat u op zijn vroegst om 7 uur ’s morgens kunt vertrekken en de route naar uw werk zonder oponthoud vijf minuten kost, maar dat u na één minuut een verkeerslicht tegenkomt. En stel nu eens dat dit verkeerslicht tussen 7.02 en 7.04 op rood staat. Wat gebeurt er dan? Als u om 7.00 vertrekt, dan zoeft u om 7.01 langs een groen verkeerslicht en bent u om 7.05 bij uw eindbestemming. Maar als u om 7.01 vertrekt, springt het verkeerslicht net voor uw neus op rood, moet u twee minuten wachten en komt u om 7.08 aan. Aannemend dat er naast dat verkeerslicht geen ander oponthoud is, is 7.07 in dit voorbeeld een niet-bestaande aankomsttijd.
Ik weet niet zeker of dit effect bij een volgend verkeerslicht versterkt wordt. Ik hoop dat verkeerslichten op doorgaande routes slim zijn afgesteld, zodat automobilisten bij de toegestane maximumsnelheid een groene golf krijgen. Al zal bij spits, grotere drukte en filevorming dat concept waarschijnlijk instorten. Ik weet wél dat bij trams vertraging zelfversterkend werkt en dat je daardoor geregeld twee trams van dezelfde lijn tegelijk bij de halte ziet aankomen. Maar dat is een heel ander verhaal.
Deze column verscheen op 17 mei 2024 in de Volkskrant.
Nieuwe adviesvragen zijn van harte welkom. Liefst persoonlijke vragen die op het eerste gezicht he-le-maal niets met wiskunde te maken hebben. U kunt ze insturen via ionica@volkskrant.nl.
Lees hier ook de andere columns van de reeks.
