Deze fotostrip verscheen eerder in de New Scientist
-
-
Deze fotostrip verscheen eerder in de New Scientist
-
Een collega puzzelt al weken op zijn planning voor de kerstdagen. Hij vroeg of ik een wiskundige oplossing had. Hoe plan je familiebezoeken en kerstdiners zodat iedereen tevreden is?
Het probleem is dat dit al snel over een heleboel mensen gaat. Neem een echtpaar dat graag een kerstdiner wil organiseren met hun drie volwassen kinderen. Die kinderen hebben elk een partner en die partners hebben ouders die ook een kerstdiner willen plannen. Nu gaat het al over zeven gezinsagenda’s. Daarbij komen dan weer broers en zussen kijken, die op hun beurt ook weer partners met ouders hebben, die weer andere kinderen hebben, enzovoorts. Voor je het weet ben je honderden agenda’s op elkaar aan het afstemmen.
Helaas bestaat er geen handig wiskundig schema waarmee iedereen altijd tevreden is. De kunst is om de ontevredenheid op de een of andere manier te minimaliseren. Een stel informatici boog zich over dit probleem in The Family Holiday Gathering Problem. Aan het begin van dit artikel merken de auteurs voorzichtig op dat zij met hun achtergrond niet geschikt zijn om de sociale en psychologische problemen rond familiebijeenkomsten op te lossen. Hoe ongeschikt ze daarvoor zijn, blijkt even later als ze vrolijk opmerken dat broers en zussen die met elkaar trouwen hun probleem alleen maar vereenvoudigen.
Enfin. Deze onderzoekers nemen aan dat ouders gelukkig zijn als ze met al hun kinderen tegelijk feest vieren. Het doel is om te zorgen dat het aantal achtereenvolgende feestdagen dat ouders ongelukkig zijn zo klein mogelijk is. Ze streven daarbij naar een vast schema, dat zich elke zoveel jaar herhaalt, zodat iedereen weet waar hij aan toe is.
Stel dat je zo’n schema maakt voor een groep ouders, waarbij de het grootste gezin vier kinderen heeft. Dan kun je altijd een oplossing vinden waarbij elk stel ouders om de vijf jaar gelukkig is. Maar is dat eerlijk voor ouders in deze groep die maar één kind hebben? Zou het niet beter zijn om de kans op een compleet gezin met kerst af te laten hangen van het aantal kinderen?
Uiteindelijk komen de auteurs tot een oplossing. Alleen snap ik na drie keer lezen nog steeds niet hoe ik die zou moeten uitvoeren in mijn familie. En zelfs al ik het zou snappen, dan zou ik de moed niet hebben om de moeder van mijn zwager te bellen om haar uit te leggen wat voor schema ik heb voor haar familie.
In het vrolijke zelfhulp boek The Life-Changing Magic of Not Giving a F*ck komt auteur Sarah Knight met een eenvoudige persoonlijke variant. Elk jaar moesten zij en haar man kiezen uit drie familiebijeenkomsten, tot ze een paar jaar terug besloten om het domweg te gaan rouleren. Elke bijeenkomst doen ze nu eens in de drie jaar en daar valt niet over te onderhandelen (de titel van haar boek geeft al aan hoe de auteur reageert als mensen hier boos om worden).
Ten slotte hebben logici nog een elegante oplossing voor als je gescheiden ouders hebt die niet met elkaar praten. Je zegt tegen elk van hen dat je dit jaar de complete kerst bij de ander viert. Vervolgens boek je een reis naar de Canarische eilanden en ligt op eerste kerstdag lekker in het zonnetje.
Deze column verscheen eerder in de Volkskrant
-
Op weg naar mijn werk fiets ik langs een poster voor mega-M&M’s die ‘3x zo groot zijn’. De rest van de dag zit ik achter mijn bureau en denk aan chocolade. Dit schreeuwt om nader onderzoek. Wat zou er bedoeld worden met ‘3x zo groot’? Is de diameter drie keer zo groot? Of het totale ding?
Dat maakt namelijk nogal uit. Laten we even aannemen dat een M&M een kubus is. Een totaal onrealistische aanname, maar een beetje wiskundige laat zich daardoor niet uit het veld slaan. Bovendien maakt deze versimpeling het rekenwerk makkelijker, waardoor het onderliggende principe duidelijk wordt.
Als we beginnen met een kubus met ribben van één centimeter, dan is de inhoud van die kubus één kubieke centimeter. De oppervlakte is zes vierkante centimeter (want er zijn zes zijvlakken). Als we nu deze kubus ‘3x zo groot maken’ door elk van de ribben op te rekken naar drie centimeter, dan krijgen we een kubus met een volume van zeventwintig kubieke centimeter en een oppervlakte van vierenvijftig vierkante centimeter (zes maal negen).
Korte samenvatting voor wie de draad inmiddels helemaal kwijt is: als je een kubus vergroot door elke ribbe drie keer zo lang te maken, dan wordt het volume zeventwintig keer zo groot en de oppervlakte negen keer zo groot. Dus als je dingen vergroot, neemt het volume sneller toe dan de oppervlakte, zoals Galileo Galilei in 1638 al opmerkte.
Terug naar de chocolade. Ik haalde twee zakken M&M’s: de mega en gewone. De mega zijn overigens alleen verkrijgbaar zonder pinda, wat goed uitkomt, want ik houd niet van pinda’s. Ik legde meetlint, weegschaal en maatbekers klaar om ze eens grondig te analyseren. De diameter van de normale versie is pakweg dertien millimeter. De megaversie ziet eruit als een kleine ufo en heeft een diameter van ongeveer twintig millimeter. Dat is dus niet drie keer zo groot, maar ongeveer anderhalf.
Dan het gewicht: de normale wegen iets minder dan één gram. De mega zijn per stuk zo’n 3,2 gram. Dat is dus méér dan drie keer zo groot. Tenslotte moest ik het volume bepalen. Dat kan heel moeizaam door de hoogte te meten en een formule voor het volume van afgeplatte chocoladebollen te bepalen. Gelukkig had ik die maatbekers al klaargezet. Laagje water erin, chocolaatjes erbij en je kunt superhandig aflezen hoeveel het volume stijgt, zoals Archimedes zo’n 2.200 jaar geleden al opmerkte.
De mega’s hebben een volume van zo’n 2,5 milliliter (oftewel 2,5 kubieke centimeter). Bij de normale blijken er drie in 2,5 milliliter te gaan. De ‘3x zo groot’ van de reclame gaat blijkbaar over het volume.
Hoe kan het dan dat ze iets meer dan drie keer keer zo zwaar zijn? Waarschijnlijk komt daar dat verschijnsel van Galileo om de hoek. De mega’s hebben in verhouding minder oppervlakte en dat is waar het gekleurde suikerlaagje zit. Zou dat laagje misschien een lagere dichtheid hebben dan chocolade? Dit alles vraagt om nog meer onderzoek.
Een ander idee voor een vervolgstudie: normaal staat mega voor een factor miljoen (denk aan megawatt, dat is een miljoen watt). Dus ik hoop dat er binnenkort echte mega-M&M’s van duizend kilo komen. Ik offer me wel om op eraan te rekenen.
Deze column verscheen eerder in de Volkskrant