Twee weken terug schreef ik hier over M&M’s. Sommige lezers mopperden dat de onderwerpen in deze rubriek wel erg frivool waren en dat zij liever iets lazen over moeilijke wiskundige problemen. Speciaal voor hen deze week een technisch stukje over een klassiek vraagstuk (mét een heuse voetnoot). En goed nieuws voor de rest: het gaat aan het einde ook weer over M&M’s.

Het klassieke vraagstuk gaat over bolstapelingen. In 1587 staarde ontdekkingsreiziger Walter Raleigh naar een piramidevormige stapel kanonskogels (je moet toch iets als je wekenlang op een schip naar Amerika zit). Raleigh vroeg zich af hoe je snel kon berekenen hoeveel kogels er in de totale stapel lagen. Zijn wiskundige assistent Thomas Harriot gaf hem de formule daarvoor. [1]

Zoals het zo vaak gaat met wiskundigen, begon Harriot zich heel andere dingen af te vragen over de stapel kanonskogels. Hoe groot waren de gaten tussen de kogels? En kon je de bollen misschien efficiënter opstapelen? Harriot speelde zijn ideeën door naar de Duitse wiskundige Johannes Kepler die in 1611 het vermoeden formuleerde dat het niet beter kon dan de gebruikelijke manier van stapelen. Elke andere schikking van even grote bollen zou gemiddeld meer ruimte ongebruikt laten.

Deze gebruikelijke stapeling heeft een ingewikkelde naam, maar je ziet hem regelmatig bij de sinaasappels op de markt. De sinaasappels liggen in een zeshoekige regelmaat en de volgende laag komt steeds in de kuiltjes van die eronder. Deze manier van stapelen vult iets meer dan 74% van de ruimte en Kepler dacht dus dat het niet efficiënter kon. Als je bollen bijvoorbeeld willekeurig in een vat gooit en een beetje schudt, gebruiken ze slechts pakweg 64% van de ruimte.

Nu volgt een flinke sprong in de tijd: in 1998 kwam er eindelijk iemand met een bewijs voor het vermoeden van Kepler. En wat voor bewijs. Thomas Hales gebruikte een computerprogramma dat losse gevallen controleert en zijn bewijs was zo gigantisch dat het controleren onmogelijk bleek. Na vier jaar zwoegen, concludeerde een team van wiskundigen dat zijn werk voor 99% zeker klopte en met die kanttekening is het gepubliceerd.

En dan komen nu weer die M&M’s. Terwijl wiskundigen ploeterden op dat bewijs van het vermoeden van Kepler, kreeg natuurkundige Paul Chaikin van zijn studenten een olievat vol M&M’s. Hij praatte namelijk nogal vaak over hoe lekker hij die snoepjes vond. De natuurkundige was verbaasd over hoeveel M&M’s er in dat vat zaten. Uiteindelijk liet hij een student metingen doen en tot hun verbazing bleken de snoepjes 68% van de ruimte te bezetten: meer dan de 64% die bollen in een vergelijkbare situatie zouden innemen. Chaikin en zijn collega’s gingen een stap verder en ontwierpen afgeplatte bollen die zelfs 74% van de ruime innemen als je ze lukraak in een vat strooit. Dat is dus net zo efficiënt als die keurig gestapelde bollen van Kepler: een wiskundige doorbraak die daarnaast leidde tot nieuwe inzichten in de materiaalkunde. De resultaten verschenen in 2004 in wetenschappelijk toptijdschrift Science.

De belangrijkste conclusie hieruit is dat een stapel kanonskogels of een olievat vol M&M’s kunnen leiden tot nieuwe inzichten en dat geen onderwerp te frivool is om goed over na te denken.

[1.] In een piramidevormige stapel met als basis een gelijkzijdige driehoek met zijde n liggen natuurlijk n x (n + 1) x (n + 2)/6 kogels.

Deze column verscheen eerder in de Volkskrant